47*2^n+1プロジェクトの今後の見通しなどについても
少し触れられているのですが、k=7での探索可能性について
少し言及されています。
k=7でのproth primeはkが小さい割りには指数nが小さい
値までしか調べられていません。しかし、探索範囲を
外れたとことで大きな素数が発見されています。

　現在、心当たりのあるところにメールなどを送って
探索状況を聞いているところです。
　
まず、7*2^n+1形式の素数についてですが、
k=7であるため、フェルマー数の約数となる確率が非常に高くなります。
素数候補の出現頻度はk=29の場合とほとんど同じで、
素数の出現頻度もn<350000の範囲で
k=7 31個　k=29 35個　とほとんど同じです。
素数を当てる確率がk=29とほとんど変わらないのであれば、
k=29はn=500kで打ち切って（あるいは細々と継続）、フェルマー数
の約数となる確率が高いk=7を将来的に優先させようか、という
考えを持っています。

k=7を最近まで探索されていたJay Berg氏から、n=720k-840k
の範囲でp=4.2T(!)までふるいにかけた結果をいただきました。
　Proth Searchページのステータスによれば、n=720k以上の場合、
840k-850kの範囲を除いてフリーになっています。

　ただし、k=7の場合、Samidoost氏とOdermatt氏によって、
n=811230とn=804534の素数がそれぞれ1個ずつ発見されています。
　とはいえ、それ以下のnが全て探索されているかといえば、
そうではない可能性が高い、と見ています。
　というのは、上記Samidoost氏はn=811230の素数を発見した
ちょうど1年後にn=804534の素数が発見されました。
　また、それより少しだけ早く、ずっと小さなn=561816の
素数が発見されています。つまり、彼らは飛び飛びの領域を
探索している可能性が高く、空白区間が間違いなく存在する
と見ています。

　私はn=720k-800kと820k-840kは恐らく誰も探索して
いない区間であると予想しています。一応Samidoost氏にも
メールを出していますが、まだ返事をいただいていません。
　Odermatt氏はメールアドレスを公開していないので、
聞けないのですが、恐らくn=800Kから探索していたのでは
無いかと思っています。
　また、PRP.exeはn=819kを超えた辺りで速度が落ちるので、
この辺りを上限に探索しているのでは無いか、という予想を
しています。
　k=7の場合は、一部他人が既に探索している区間を調査する
可能性がありますが、その上でもk=7も探索してみたい、
という要望があれば、先ずはJay Berg氏よりいただいたデータ
を素数探索連携掲示板にアップします。

　皆さんのご意見お願いいたします。

現在このような計画を考えています（まだ草案段階です）。
k=47 だけでなくいろいろな k を扱う予定です。

・探索範囲について
主に２〜３個の k を同時並行して探します。

(1) k=47 についてはふるいがけ後の候補数が少ないのでずっと探索を続ける。
(2) それだけだといつまでも素数が見つからない可能性もあるので並行して nohara さんによりふるいがけ中の k=29 を n=100万まで行う。
k=29 終了後は再び適当な k を選び同じように n=100万まで行う。k=15, 27 などもよさそうです。
PRP3 の判定時間は k にも依存するので k=7, 9 などを行う可能性もあります。
（PRP3 の登場により今後探索が加速されることが予想されます。今のうちに我々が k=7, 9 で n=100万まで予約してしまうという考えもあります。Fermat Divisor関連で世界ランキング上位に入れる可能性大です）
(3) 適当な k を選び比較的小さい n (688000まで？)の探索を行う。(2) の k=29 などについても小さい n はこの部類に入ります。

k=7, 9 も行う場合は k=7, 9, 29, 47 の４本立てになり、以下のように分類されます。
(1) k=47
(2) k=7, 9 および k=29 の n > 688000
(3) k=29 の n < 688000


・探索の分業について
高い効率を目指しますが、各パソコンや参加者にも配慮をします。

ふるいがけはできるだけ Athlon で行う。
低スペックのパソコンは小さめの n の PRP テストを行う（上記の(3)の範囲）。
高スペックのパソコン、特に PRP3 が動くマシンは大きめの n で行う（上記の(1),(2)の範囲）。
こうすることで素数を発見する可能性（個数の期待値）の格差を小さくしたいと思います。

こう書きましたが低スペックのパソコンで大きい n を判定するのは一向にかまいません。
２ヶ月以内に終わりそうにない場合は予約できる単位を小さくしたり期間を延長したりします。
逆はふるいがけが追いつかない可能性があるのでご遠慮いただくかもしれません。


・「素数を発見したら」の変更点
必ず "Mat's Prime Search" との共同名義で登録する。
turbo, nohara さんとの共同名義にするかどうかは選択できる。
また、登録はプロジェクトおよび "Mat's Prime Search" のアカウントの管理人である turbo が一括して行うようにする。


ご意見等ありましたらどうぞ。

＃ふるいがけに時間が必要なのに加えて、ここ１ヶ月ほどは忙しいのでプロジェクトページに本格的に反映されるのはもう少し先になると思います。

1000万桁について、いろいろな形式の素数の探索効率を求めてみました。
すべて P4-2.8GHz １台で行った場合を示しています。

左から順に　形式、１候補の判定時間、候補数（確率の逆数）、素数１個に必要な時間
メルセンヌ素数(GIMPS) 32日 * 250000 = 22000年
一般フェルマ素数 92日 * 340000 = 86000年
k*2^n-1(k=3,5,7) 44日 * 780000 = 94000年
（こちらでは LLR で1000万桁を行うと途中結果を保存できない不具合が出ました）

ただしこれは
・ふるいがけ時間の省略（現在 GIMPS で1000万桁を選択するとふるいがけから始まります）
・後者２つはふるいがけを100日程度で打ち切ったと仮定（最適化するには数年〜数百年必要）
という条件のもとなので GIMPS にかなり有利に出ています。

ちなみに Proth.exe では探索時間が b^n+1 の b によらないようなので b が大きいほうが有利です。
b^2097152+1 の場合、1200万桁程度まで可能ですから、この場合だと上より差は縮まります。
メルセンヌ素数(GIMPS) 51日 * 300000 = 42000年
一般フェルマ素数 92日 * 340000 = 86000年

1000万桁の GFN や k*2^n-1 と同等の効率のメルセンヌ素数は
2^52000000-1（1565万桁）程度と予想されます。

＃もし1000万桁を探すのでしたら、ふるいがけ等のお手伝いはできます。
＃47*2^n+1 に対する裏プロジェクトとして立ち上げてもかまいませんが、技術がないので仮に参加者が３桁になったらお手上げです。
＃それにしても万が一（本当に万が一ですね）1000万桁の素数を発見したら賞金はどうなるのでしょうか。各ソフトの開発者にも権利があるかもしれないので GIMPS に参加した場合よりも手取りが少なくなるかもしれませんね。

ＬＬＲの新バージョン？及びＰｅｎ４専用のＬＬＲが出ています。

新バージョンのＬＬＲ２は、若干スピードｕｐ
Ｐｅｎ４専用は、１０％程度スピードｕｐしています。

ＰＲＰもＰＲＰ３が有りましたが、Ｐｅｎ４用なのか、他のＣＰＵではエラーとなってしまいました。（Ｐｅｎ４では未確認）

私も勉強不足のところがありありなのですが、
47*2^n+1の216091さんへの返答も兼ねて別の
トピックを作成します。

216091さん wrote at 47*2^n+1
最大の素数がGFN素数でなくて　Mersenne素数
なのは単に探しているパソコンの数がMersenne素数の方が
多いからだと思うからです。

この点、全くの同感です。私もGFN素数は最も捜索効率の
よい形式と思っています。私が円分数というタイトルで
直接素数とは関係なさそうな話題をわざわざ書いたのは
このことに気が付いて欲しかったためです。
メルセンヌ数も一般フェルマー数も円分数であるという特質上、
約数の形式は似ていますが、一般フェルマー数はbをいろいろ
変えられるので、ふるいを用いることができる分、有利です。

　ただし、一般フェルマー数のふるいはNewPGenで対応している
k*b^n+1/-1という形式の場合と比較して不利な点があります。
　それは約数の存在に周期性が存在しない、ということです。

　メルセンヌ数や一般フェルマー数は特殊な形式の数しか
素因数になりえません。これは素数候補を絞り込む上では
非常に有利です。

　もう一つ、素数候補を同じ素数で割り切れる場合が周期的
に登場すると、ふるいがけが非常に有利になります。

　もっともふるいがけが有利な形式はnを固定した場合に
kを変化させる場合です。これはエラトステネスのふるいと
ほとんど同じアルゴリズムで実施できます。
たとえば、
k1*2^n+1が3で割り切れるとすると、
(k1+3)*2^n+1
(k1+6)*2^n+1
(k1+9)*2^n+1
...
も以下同様に3で割り切れます。
ふるいがけにつかう素数5,7,11,...ときても同様です。

長いので続きます